Question

5．已知直線l交拋物線y²=3x于A、B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)l交x軸于點(diǎn)F，F(xiàn)′、F分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)．若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，使得|$\overrightarrow{PF′}$|=2|$\overrightarrow{PF}$|，則a的取值范圍是[1，3）．

Answer 1

分析 確定直線過定點(diǎn)（3，0），可得F的坐標(biāo)，由雙曲線的定義，再根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|≥c-a，從而a的取值范圍．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
設(shè)直線方程為x=my+b，
聯(lián)立方程，消去x得y²-3my-3b=0，
則y₁y₂=-3b，x₁x₂=b²，
又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即-3b+b²=0，
解得b=0（舍去）或b=3，
故直線過定點(diǎn)（3，0），
∴F（3，0），
∵|$\overrightarrow{PF′}$|=2|$\overrightarrow{PF}$|，
∴由雙曲線的定義可得|$\overrightarrow{PF′}$|-|$\overrightarrow{PF}$|=|$\overrightarrow{PF}$|=2a，
∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
∴|PF|≥c-a，
∴2a≥c-a，∴a≥1，
∵$\frac{c}{a}＞1$，∴a＜3，
∴a的取值范圍是[1，3），
故答案為[1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量垂直的條件，同時(shí)考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及證明直線恒過定點(diǎn)，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．