Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=（n²+n）•2ⁿ，求數(shù)列$\{\frac{b_n}{c_n}\}$的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），n=1時(shí)，1+a₂=4×1+2，解得a₂．n≥2時(shí)，a_n+1=S_n+1-S_n，化為：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即b_n=2b_n-1，即可證明．
（II）由（I）可得：b_n=3×2^n-1，可得$\frac{_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （I）證明：∵S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），∴n=1時(shí)，1+a₂=4×1+2，解得a₂=5．
n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），化為：
a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），∴b_n=2b_n-1，b₁=a₂-2a₁=3．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為2．
（II）解：由（I）可得：b_n=3×2^n-1，
∴$\frac{_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{3×{2}^{n-1}}{（{n}^{2}+n）•{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列$\{\frac{b_n}{c_n}\}$的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{3}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3n}{2n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．