Question

4．底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD，AB=BC=14，PA=6，點(diǎn)M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．
（1）若$MN=4\sqrt{2}$，求一面直線PA與MN所成角的余弦值；
（2）若異面直線PA與MN所成的角為60°，求線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，則EN平行且等于AM，可得∠PAE（或其補(bǔ)角）為PA與MN所成角，利用平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，求出PD，再用余弦定理，求出直線PA與MN所成角的余弦值；
（2）若異面直線PA與MN所成的角為60°，PE=$\sqrt{36+{x}^{2}-2×6×x×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-6x+36}$，即可求線段MN的長(zhǎng)．

解答 解：（1）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，則EN平行且等于AM，
∴AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE，
∴∠PAE（或其補(bǔ)角）為PA與MN所成角，
∵AD=14，PA=6，$MN=4\sqrt{2}$，
∴PD²+（8$\sqrt{2}$）²=2（14²+6²），∴PD=4$\sqrt{21}$，
∴cos∠PAE=$\frac{36+32-84}{2×6×4\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{6}$
即PA與MN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$；
（2）設(shè)MN=x，則
∵異面直線PA與MN所成的角為60°，
∴PE=$\sqrt{36+{x}^{2}-2×6×x×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-6x+36}$，
∴4x²+4（x²-6x+36）=2（14²+6²）
∴x²-3x-40=0，
∴x=8，即MN=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間角，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．