Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)y=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$的圖象上，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知${S_n}=\frac{1}{8}a_n^2+\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{2}$，n≥2時(shí)，${S_{n-1}}=\frac{1}{8}a_{n-1}^2+\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{1}{2}$，兩式相減可知：a_n-a_n-1=4，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，可知數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂項(xiàng)法”，即求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）將點(diǎn)（a_n，S_n）代入函數(shù)y=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，可知：${S_n}=\frac{1}{8}a_n^2+\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{2}$，①
當(dāng)n≥2時(shí)，${S_{n-1}}=\frac{1}{8}a_{n-1}^2+\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{1}{2}$，②
①-②得：$a_n^{\;}=\frac{1}{8}（{a_n^2-a_{n-1}^2}）+\frac{1}{2}（{{a_n}-{a_{n-1}}}）$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=4（n≥2），--------（4分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=4n-2（n∈N^*）．--------（6分）
（Ⅱ）∵c_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），--------（9分）
∴T_n=$\frac{1}{8}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{4（2n+1）}$，
T_n=$\frac{n}{4（2n+1）}$．----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．