Question

11．已知圓O：x²+y²=r²與圓C：（x-2）²+y²=r²（r＞0）在第一象限的一個公共點為P，過P作與x軸平行的直線分別交兩圓于不同兩點A，B（異于P點），且OA⊥OB，則直線OP的斜率是$\sqrt{3}$，r=2．

Answer 1

分析 根據題意，畫出圖形，結合圖形得出點P的橫坐標，再根據題意列出方程組，解方程組求出半徑r的值．然后求出P的坐標，利用斜率公式進行求解即可．

解答 解：如圖所示
圓O：x²+y²=r²與圓C：（x-2）²+y²=r²（r＞0）的一個公共點P，
∴點P的橫坐標為x=1；
又過點P作與x軸平行的直線分別交兩圓于A，B兩點，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{=y}_{2}}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=2}\end{array}\right.$；
又OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=r²，${{（x}_{2}-2）}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=r²；
由此解得r=2．
即圓O：x²+y²=4，
當x=1時，y=±$\sqrt{3}$，
∵P在第一象限，∴y=$\sqrt{3}$，即P（1，$\sqrt{3}$），
則k_OP=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$；2．

點評 本題考查了直線與圓的應用問題以及直線斜率的計算，也考查了數形結合解題方法的問題，是綜合性題目．