Question

16．a(chǎn)，b都是正數(shù)，求證（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³．

Answer 1

分析 由a，b都是正數(shù)，運用均值不等式，可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，a²+b²≥2ab，a³+b³≥2$\sqrt{{a}^{3}^{3}}$，運用累乘法，即可得證．

解答 證明：a，b都是正數(shù)，可得
a+b≥2$\sqrt{ab}$，
a²+b²≥2ab，
a³+b³≥2$\sqrt{{a}^{3}^{3}}$，
三式相乘，可得（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8$\sqrt{ab}$•ab•$\sqrt{{a}^{3}^{3}}$=8a³b³，
當且僅當a=b，取得等號．
即有（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用二元均值不等式和不等式的性質(zhì)，考查運算和推理能力，屬于中檔題．