Question

11．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，體積為$\frac{16}{3}$，則該球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{81π}{4}$
• B． 16π
• C． 9π
• D． $\frac{27π}{4}$

Answer 1

分析 正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半徑，求出球的表面積．

解答 解：如圖，正四棱錐P-ABCD中，PE為正四棱錐的高，根據球的相關知識可知，正四棱錐的外接球的球心O必在正四棱錐的高線PE所在的直線上，
延長PE交球面于一點F，連接AE，AF，
棱錐的體積為$\frac{16}{3}$，棱錐的高為4，則底面邊長為2，
由球的性質可知△PAF為直角三角形且AE⊥PF，根據平面幾何中的射影定理可得PA²=PF•PE，因為AE=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}{2}$=$\sqrt{2}$，
所以側棱長PA=$\sqrt{{4}^{2}+2}$=3$\sqrt{2}$，PF=2R，
所以18=2R×4，所以R=$\frac{9}{4}$，
所以S=4πR²=$\frac{81π}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查球的表面積，球的內接幾何體問題，考查計算能力，是基礎題．