【題目】如圖，在多面體中，平面平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，是邊長為1的等邊三角形，M為線段中點，.

(1)求證：；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)線段上是否存在點N，使得直線平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析（2）（3）線段BD上存在點N,使得直線平面AFN，且，詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得.（2）取中點，中點，連接，證得兩兩垂直.分別以為軸建立空間直角坐標系，通過計算直線的方向向量和平面的法向量計算出線面角的正弦值.（3）通過向量共線設出點坐標，求得的坐標，根據(jù)列方程，解方程求得的值，由此證得存在點符合題意.

(1)證明：因為為正方形，

所以．

又因為平面平面，

且平面平面，

所以平面．

所以．

(2)取AD中點O,EF中點K，連接OB，OK.于是在△ABD中，，在正方ADEF中，又平面平面，故平面，進而，

即兩兩垂直．

分別以為x軸，y軸,z軸

建立空間直角坐標系（如圖）．

于是，，,,,

所以

設平面的一個法向量為，

則 即

令，則，則．

設直線與平面所成角為，

(3) 要使直線平面，只需，

設,則,

,

，所以,

又 ，由得

解得

所以線段BD上存在點N,使得直線平面AFN，且．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點C到平面C1DE的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的. [附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.]

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

（2）試估計該公司投入萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);

（3）該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請將（2）的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】 設橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；

（2）當時，對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為

A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題不正確的是（ ）

A.若，且，則

B.若，且，則

C.若直線直線，則直線與直線確定一個平面

D.三點確定一個平面.

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