【題目】已知點(diǎn)及圓.
(1)若直線過點(diǎn)且被圓截得的線段長為,求的方程;
(2)求過點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1) 或;(2) .
【解析】試題分析:(1)直線與圓相交時(shí),利用圓的半徑,弦長的一半,圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形的三邊勾股定理求解;(2)求弦的中點(diǎn)的軌跡方程,首先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)D(x,y),利用弦的中點(diǎn)與圓心的連線垂直于仙所在的直線得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
試題解析:(1)解法一:如圖所示,AB=4,D是AB的中點(diǎn),CD⊥AB,AD=2,AC=4,
在Rt△ACD中,可得CD=2.
設(shè)所求直線的斜率為k,則直線的方程為y-5=kx,
即kx-y+5=0.
由點(diǎn)C到直線AB的距離公式:
=2,得k=.
k=時(shí),直線l的方程為3x-4y+20=0.
又直線l的斜率不存在時(shí),也滿足題意,此時(shí)方程為x=0.
∴所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0.
(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x,y),
則CD⊥PD,即
(x+2,y-6)(x,y-5)=0,化簡得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分15分)已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為的橢圓過點(diǎn)(,).
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P,Q兩點(diǎn),滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:的離心率是,拋物線E:的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.
(i)求證:點(diǎn)M在定直線上;
(ii)直線與y軸交于點(diǎn)G,記的面積為,的面積為,求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,。數(shù)列的前項(xiàng)和為,且。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和;
(2)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列,問是否存在正整數(shù) ,使得成等差數(shù)列,若存在,求出所有滿足要求的;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,對于的一個(gè)子集,若存在不大于的正整數(shù),使得對中的任意一對元素、,都有,則稱具有性質(zhì).
(1)當(dāng)時(shí),試判斷集合和是否具有性質(zhì)?并說明理由;
(2)當(dāng)時(shí),若集合具有性質(zhì).
①那么集合是否一定具有性質(zhì)?并說明理由;
②求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù),且時(shí), 是單調(diào)函數(shù),則滿足的所有之積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù),
(1)若,求不等式的解集;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值?若存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(3)寫出函數(shù)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(不必寫出過程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機(jī)抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本,分別統(tǒng)計(jì)出這些試卷總分,由總分得到如下的頻率分別直方圖.
(1)求這100份數(shù)學(xué)試卷成績的中位數(shù);
(2)從總分在和的試卷中隨機(jī)抽取2份試卷,求抽取的2份試卷中至少有一份總分少于65分的概率.
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