【題目】(本題滿分15)已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為的橢圓過點(diǎn)(,)

(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ) 設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓交于P,Q兩點(diǎn),滿足直線OPPQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求OPQ面積的取值范圍.

【答案】(1);(2.

【解析】

(Ⅰ) 解:由題意可設(shè)橢圓方程為(ab0),

所以,橢圓方程為……………………………5

(Ⅱ) 解:由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,

故可設(shè)直線l的方程為ykxm(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2)

消去y

(14k2)x28kmx4(m21)0,

Δ64k2b216(14k2b2)(b21)16(4k2m21)0

,

y1 y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2

因?yàn)橹本OP,PQOQ的斜率依次成等比數(shù)列,

所以k2,

m20,又m≠0

所以k2,即k

由于直線OPOQ的斜率存在,且Δ0,得

0m22 m2≠1

設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離,

SOPQd |PQ ||x1x2 | |m |

所以SOPQ的取值范圍為 (0,1)……………………………15

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓的離心率,過橢圓的左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相交所得弦長為.

1)求橢圓的方程;

2)是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且,若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.

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