Question

1．設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且（a²+b²-c²）sinA=ab（sinC+2sinB），a=1．
（1）求角A的大��；
（2）求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式，可得sinC（1+2cosA）=0，
結(jié)合sinC≠0，可得cosA=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可求A的值．
（2）由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}sinB}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{3}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得△ABC的周長l=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$），由范圍B∈（0，$\frac{π}{3}$），可求范圍B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解周長的求值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵（a²+b²-c²）sinA=ab（sinC+2sinB），
∴由余弦定理可得：2abcosCsinA=ab（sinC+2sinB），
∴2cosCsinA=sinC+2sin（A+C），化簡可得：sinC（1+2cosA）=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$…（5分）
（2）∵A=$\frac{2π}{3}$，a=1，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}sinB}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{3}$，
∴△ABC的周長l=a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{π}{3}$-B）]
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$），
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（B+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴△ABC的周長l=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）∈（2，1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．