【題目】如圖所示的“8”字形曲線是由兩個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的半圓和一個(gè)雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個(gè)圓所在圓方程是，雙曲線的左、右頂點(diǎn)、是該圓與軸的交點(diǎn)，雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點(diǎn)．

（1）試求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，試在“8”字形曲線上求點(diǎn)，使得是直角．

【答案】（1）=1,（2）（），（﹣），（﹣，﹣），（，﹣）．

【解析】

試題 由于上半個(gè)圓所在圓方程是，令，求出，得雙曲線的頂點(diǎn)，可知，又雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點(diǎn)，令，雙曲線過(guò)點(diǎn)，滿(mǎn)足雙曲線方程，待定系數(shù)法求出雙曲線方程；第二步由于點(diǎn)滿(mǎn)足是直角，則點(diǎn)在以為圓心半徑為的圓上，滿(mǎn)足,把圓的方程與雙曲線方程聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo)，由于與上下兩圓弧無(wú)交點(diǎn)，所以交點(diǎn)只有求出的四個(gè) .

試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，在已知圓的方程中，令，

得，即，則雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、，于是,令，可得，解得，即雙曲線過(guò)點(diǎn)，則所以，

所以所求雙曲線方程為.

（2）由（1）得雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，,當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，

①若點(diǎn)在雙曲線上，得，由，有則，

由，解得所以

②若點(diǎn)在上半圓上，則，由，得，

由無(wú)解.

綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有4個(gè)，分別為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為.連接并延長(zhǎng)與橢圓相交于點(diǎn)，且

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn).若的面積是的面積的2倍，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)在雙曲線（，）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)（2）中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求與的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與的交點(diǎn)為、，與的交點(diǎn)為、，且，求值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，試做如下操作：把x軸上的區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形，使矩形的右端點(diǎn)落在函數(shù)的圖像上.若用表示第k個(gè)矩形的面積，表示這n個(gè)叫矩形的面積總和.

（1）求的表達(dá)式；

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，并求出的表達(dá)式

（3）求的值，并說(shuō)明的幾何意義.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為軸上的點(diǎn).

（1）過(guò)點(diǎn)作直線與相切，求切線的方程；

（2）如果存在過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，四棱錐的體積，M是的中點(diǎn).

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求點(diǎn)B到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足，求證：由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．

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