Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-9x+1
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在（1，c）處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3x²+6x-9，f′（1）=0，c=-4，即可求出切線方程．（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，f（-3）=28，f（1）=-4，f（2）=3，
可判斷-3∈[k，2]，即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x³+3x²-9x+1，
∴f′（x）=3x²+6x-9，
f′（1）=0，f（1）=1+3-9+1=-4，c=-4，
∴在（1，-4）處的切線方程：y=-4；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²+6x-9=0，x=1，x=-3，
f′（x）=3x²+6x-9＞0，x＞1或x＜-3，
f′（x）=3x²+6x-9＜0，-3＜x＜1，

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

f（-3）=28，f（1）=-4，f（2）=3，
∵在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，
∴k≤-3

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的最值，判斷單調(diào)性，求解切線問題，屬于難題．