Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)
（2）解不等式f（x²-2x+2）＞f（5）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）任取區(qū)間[1，+∞）上兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，且a＜b，判斷f（a）-f（b）的符號，進(jìn)而得到f（a），f（b）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義即可得到答案．
（2）由（1）中結(jié)論及x²-2x+2≥1，可將不等式f（x²-2x+2）＞f（5）化為：x²-2x+2＞5，解得不等式的解集．

解答： 解：（1）證明：任取區(qū)間[1，+∞）上兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，且a＜b
則a-b＜0，ab＞1，ab-1＞0
則f（a）-f（b）=（a+

1

a

）-（b+

1

b

）
=a-b+

1

a

-

1

b

=a-b+

b-a

ab

=（a-b）（1-

1

ab

）=

(a-b)(ab-1)

ab

＜0
即f（a）＜f（b）
故函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)略          （6分）
（2）x²-2x+2≥1，所以不等式f（x²-2x+2）＞f（5）可化為：
x²-2x+2＞5
解得：x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，利用定義法（作差法）證明單調(diào)性的步驟是：設(shè)元→作差→分解→斷號→結(jié)論．