Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+

4

3

（a，b是實(shí)數(shù)），且f′（2）=0，f（1）=

2

3

，f（x）在閉區(qū)間[t，t+3]上的最小值為g（t）（t為實(shí)數(shù)），
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；        
（Ⅱ）當(dāng)t∈[0，3]時(shí)，求g（t）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用f′（2）=0，f（1）=

2

3

，即可求實(shí)數(shù)a，b的值；        
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用t∈[0，3]，分類(lèi)討論，即可求g（t）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，由

4+4a+b=0 1 3 +a+b= 2 3

------（4分）
得

a=-1 b=0

，------------------------------------（5分）
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-x2+

4

3

，
因?yàn)閒'（x）=x²-2x=x（x-2），所以f（x）在（-∞，0）遞增，（0，2）遞減，（2，+∞）遞增．---（7分）
可知f（2）=0，所以f(x)=

1

3

(x-2)2(x+1)，
即有f（-1）=0，結(jié)合圖形，
（1）當(dāng)t+3＜2，即t＜-1時(shí)，f（x）_min=f(t)=

1

3

t3-t2+

4

3

-------------------（8分）
（2）當(dāng)2≤t+3，且t≤2，即-1≤t≤2時(shí)，f（x）_min=0-------------------------（9分）
（3）當(dāng)t＞2時(shí)，f（x）_min=f(t)=

1

3

t3-t2+

4

3

-----------------------------------------（10分）
綜上，g(t)=

1 3 t3-t2+ 4 3 ，t＜-1或t＞2 0，-1≤t≤2

----------------------------（11分）
若t∈[0，3]，則g（t）在[0，2]恒等于0，在[2，3]內(nèi)單調(diào)遞增，
可得 g(t)∈[0，g(3)]=[0，

4

3

]------------------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．