【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知, (其中是自然對數(shù)的底數(shù)), 求證：.

【答案】(1) 增區(qū)間是(0,e), 減區(qū)間是；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）函數(shù)的定義域為，求解導函數(shù)可得，

利用導函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得f(x)的增區(qū)間是(0,e), 減區(qū)間是.

（2）利用分析法，由于，則兩邊取對數(shù)，原問題等價于證明:，即.結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性可得該不等式明顯成立，故原命題得證.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為，且，

∴當時,, ∴函數(shù)在上是單調(diào)遞減.

當0<x<e時,, ∴函數(shù)在(0,e)上是單調(diào)遞增.

∴f(x)的增區(qū)間是(0,e), 減區(qū)間是.

（2）∵∴要證: ，

只需兩邊取對數(shù)證明:.

只需證. (∵)，

由（1）得函數(shù)在上是單調(diào)遞減.

∴當時,有，即. 原命題得證.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）解不等式；

（2）若函數(shù),其中為奇函數(shù),為偶函數(shù),若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；

（2）若P點的坐標為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點，當時，求直線CD的方程；

（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

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（1）求證：PB⊥平面APD；

（2）是否存在點G在PD上，使得AG⊥BD；并說明理由．

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【題目】將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，AC長為 π，A1B1長為 ，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)．

（1）求三棱錐C﹣O1A1B1的體積；
（2）求異面直線B1C與AA1所成的角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù). 求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex－x2＋2ax.

(1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與相交于、兩點，的周長為．

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（2）若橢圓上存在點，使得四邊形為平行四邊形，求此時直線的方程．

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（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，橢圓左頂點為A，過原點O的直線（與坐標軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點．試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結(jié)論．

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