【題目】將邊長(zhǎng)為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖,AC長(zhǎng)為 π,A1B1長(zhǎng)為 ,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).
(1)求三棱錐C﹣O1A1B1的體積;
(2)求異面直線B1C與AA1所成的角的大小.
【答案】
(1)
解:連結(jié)O1B1,則∠O1A1B1=∠A1O1B1= ,
∴△O1A1B1為正三角形,
∴ = ,
= =
(2)
解:
設(shè)點(diǎn)B1在下底面圓周的射影為B,連結(jié)BB1,則BB1∥AA1,
∴∠BB1C為直線B1C與AA1所成角(或補(bǔ)角),
BB1=AA1=1,
連結(jié)BC、BO、OC,
∠AOB=∠A1O1B1= , ,∴∠BOC= ,
∴△BOC為正三角形,
∴BC=BO=1,∴tan∠BB1C=45°,
∴直線B1C與AA1所成角大小為45°.
【解析】(1)連結(jié)O1B1 , 推導(dǎo)出△O1A1B1為正三角形,從而 = ,由此能求出三棱錐C﹣O1A1B1的體積.
(2)設(shè)點(diǎn)B1在下底面圓周的射影為B,連結(jié)BB1 , 則BB1∥AA1 , ∠BB1C為直線B1C與AA1所成角(或補(bǔ)角),由此能求出直線B1C與AA1所成角大。
本題考查三棱錐的體積的求法,考查兩直線所成角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列敘述:
①化簡(jiǎn)的結(jié)果為﹣.
②函數(shù)y=在(﹣∞,﹣1)和(﹣1,+∞)上是減函數(shù);
③函數(shù)y=log3x+x2﹣2在定義域內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn);
④定義域內(nèi)任意兩個(gè)變量x1,x2,都有,則f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù).
其中正確的結(jié)論序號(hào)是_____
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=60°,AB=2AD,PD⊥平面ABCD,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面BMD;
(2)求證:AD⊥PB;
(3)若AB=PD=2,求點(diǎn)A到平面BMD的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC的邊長(zhǎng)AB=1,側(cè)棱長(zhǎng)為,P是A1B1的中點(diǎn),E、F、G分別是AC,BC,PC的中點(diǎn).
(1)求FG與BB1所成角的大。
(2)求證:平面EFG∥平面ABB1A1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知, (其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)), 求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是( 。
(參考數(shù)據(jù):lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)棱底面,底面三角形是正三角形,是中點(diǎn),則下列敘述正確的是( )
A. 平面
B. 與是異面直線
C.
D.
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