Question

8．2016年8月21日第31屆夏季奧運(yùn)會(huì)在巴西里約閉幕，中國(guó)以26金18銀26銅的成績(jī)名稱金牌榜第三、獎(jiǎng)牌榜第二，某校體育愛(ài)好者協(xié)會(huì)在高三年級(jí)一班至六班進(jìn)行了“本屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查（結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種），從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了50人，具體的調(diào)查結(jié)果如表：

班號(hào)	一班	二班	三往	四班	五班	六班
頻數(shù)	5	9	11	9	7	9
滿意人數(shù)	4	7	8	5	6	6

（Ⅰ）在高三年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該生持滿意態(tài)度的概率；
（Ⅱ）若從一班至二班的調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中對(duì)“本屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”不滿意的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在被抽取的50人中，持滿意態(tài)度的學(xué)生共36人，從而求出持滿意態(tài)度的頻率，由此能估計(jì)高三年級(jí)全體學(xué)生持滿意態(tài)度的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）在被抽取的50人中，持滿意態(tài)度的學(xué)生共36人，
持滿意態(tài)度的頻率為$\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$，
據(jù)此估計(jì)高三年級(jí)全體學(xué)生持滿意態(tài)度的概率為$\frac{18}{25}$；…（3分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，…（5分）
$P（{ξ=0}）=\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_7^2}{C_9^2}=\frac{6}{10}×\frac{21}{36}=\frac{7}{20}$，…（6分）
$P（{ξ=1}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_7^2}{C_9^2}+\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_7^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{4}{10}×\frac{21}{36}+\frac{6}{10}×\frac{14}{36}=\frac{7}{15}$．…（7分）
$P（{ξ=2}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_7^1C_2^1}{C_9^2}+\frac{C_4^2}{C_5^2}•\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{4}{10}×\frac{14}{36}+\frac{6}{10}×\frac{1}{36}=\frac{31}{180}$．…（8分）
$P（{ξ=3}）=\frac{C_4^1}{C_5^2}•\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{4}{10}×\frac{1}{36}=\frac{1}{90}$，…（9分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{7}{20}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{31}{180}$	$\frac{1}{90}$

…（10分）
所以ξ的期望值為：$Eξ=0×\frac{7}{20}+1×\frac{7}{15}+2×\frac{31}{180}+3×\frac{1}{90}=\frac{38}{45}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．