Question

2．（1-$\frac{1}{2}$x）（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式中x²的系數(shù)為60．

Answer 1

分析 （1-$\frac{1}{2}$x）（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式中x²的系數(shù)由（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式的x的系數(shù)與x²的系數(shù)分別乘以（1-$\frac{1}{2}$x）的系數(shù)組成，利用（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式的通項(xiàng)求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，即可計(jì)算出結(jié)果．

解答 解：（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式的x的系數(shù)與x²的系數(shù)分別乘以（1-$\frac{1}{2}$x）組成，
且（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式的通項(xiàng)為
T_r+1=C₅^r•（2$\sqrt{x}$）^r=2^r•${C}_{5}^{r}$•${x}^{\frac{r}{2}}$，
令$\frac{r}{2}$=1，得r=2，故（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式的x的系數(shù)為2²•${C}_{5}^{2}$=40，
令$\frac{1}{2}$r=2，得r=4，故（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式的x²的系數(shù)為2⁴•C₅⁴=80，
故（1-$\frac{1}{2}$x）（1+2$\sqrt{x}$）⁵展開式中x²的系數(shù)是1×80-$\frac{1}{2}$×40=60．
故答案為：60．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力、利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，是基礎(chǔ)題目．