Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，橢圓C過點G（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B為橢圓C的上頂點，過點B的兩條直線與橢圓C分別交于M，N兩點，且直線BM與BN的斜率的積為$\frac{2}{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）橢圓C上存在點P使得OP∥MN（O為坐標原點），求△MNP面積的最大值，并求此時直線MN的斜率．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和點G滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設直線MN的方程為y=kx+t，OP的方程為y=kx，求得P到MN的距離，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，求得三角形PMN的面積，化簡整理由基本不等式可得最大值，求得等號成立的條件，再由直線的斜率公式，結合條件化簡整理可得k的值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
橢圓C過點G（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{3^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）設直線MN的方程為y=kx+t，OP的方程為y=kx，
P到直線MN的距離為d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
將直線y=kx+t代入橢圓方程，可得
（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由判別式36k²t²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
化簡得1+3k²-t²＞0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得：
x₁+x₂=-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}{t}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12{t}^{2}-12}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{1+3{k}^{2}-{t}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$，
即有△MNP面積為$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\sqrt{3}$•|t|•$\frac{\sqrt{1+3{k}^{2}-{t}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{{t}^{2}（1+3{k}^{2}-{t}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$
≤$\sqrt{3}$•$\frac{{t}^{2}+1+3{k}^{2}-{t}^{2}}{2}$•$\frac{1}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當且僅當t²=1+3k²-t²，即1+3k²=2t²取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由直線BM與BN的斜率的積為$\frac{2}{3}$，即有$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
即為2x₁x₂=3（kx₁+t-1）（kx₂+t-1），
即有（2-3k²）x₁x₂-3（t-1）²-3k（t-1）（x₁+x₂）=0，
即（2-3k²）•$\frac{3{t}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$-3（t-1）²-3k（t-1）（-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$）=0，
化簡可得t²+2t-3=0，解得t=1或-3．
可得1+3k²=2或18，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$或±$\frac{\sqrt{51}}{3}$．
綜上可得，△MNP面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此時直線MN的斜率為±$\frac{\sqrt{3}}{3}$或±$\frac{\sqrt{51}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，結合基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．