Question

13．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k為負(fù)數(shù)，且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達(dá)式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值（用k表示）；
（2）寫出f（x）在[-3，2]上的表達(dá)式，并討論f（x）在[-3，2]上的單調(diào)性（不要證明）；
（3）求出f（x）在[-3，2]上的最小值和最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值．

Answer 1

分析 （1）直接代入，根據(jù)條件求解即可；
（2）根據(jù)條件，分別對(duì)x進(jìn)行不同區(qū)間討論，分別求出表達(dá)式即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)k進(jìn)行分類，利用極值點(diǎn)判斷函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f（-1）=kf（1）=-1×k=-k，
f（0.5）=kf（2.5），
∴f（2.5）=$\frac{1}{k}$f（0.5）=-$\frac{3}{4k}$；
（2）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）=kf（x+2），
當(dāng)-2≤x＜0，0≤x+2＜2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
當(dāng)-3≤x＜-2，-1≤x+2＜0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）；
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）=x（x-2）．
f（x）在[-3，-1]與[1，2]上為增函數(shù)，在[-1，1]上為減函數(shù)；
（Ⅲ）由函數(shù)f（x）在[-3，3]上的單調(diào)性可知f（x）在x=-3或x=1處取得最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，而在x=-1或x=2處取得最大值，f（-1）=-k或f（2）=0，
故有①k＜-1時(shí)，f（x）在x=-3處取得最小值f（-3）=-k²，在x=-1處取得最大值f（-1）=-k；
②k=-1時(shí)，f（x）在x=-3與x=l處取得最小值f（-3）=f（1）=-1，在x=-1處取得最大值f（-1）=1，
③-1＜k＜0時(shí)，f（x）在x=1處取得最小值f（1）=-1，在x=-1處取得最大值f（-1）=-k．

點(diǎn)評(píng) 考查了抽象函數(shù)的代入求解和對(duì)參數(shù)的分類討論．難點(diǎn)是正確的對(duì)參數(shù)分區(qū)間討論．