Question

12．設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，θ∈[0，2π）．
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ；
（2）已知z=$\sqrt{3}$+i，試?yán)�用�?）的結(jié)論計(jì)算z¹⁰；
（3）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R，a²+b²≠0），求證：|zⁿ|=|z|ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，注意和差公式的應(yīng)用．
（2）利用（1）的結(jié)論即可得出．
（3）由于$z=a+bi=\sqrt{{a^2}+{b^2}}（{\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}+\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}i}）$，可$記\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=cosθ，\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=sinθ$，利用（1）的結(jié)論．

解答 （1）證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=cosθ+isinθ，所以命題成立；
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即（cosθ+isinθ）^k=coskθ+isinkθ，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（cosx+isinθ）^k+1=（cosθ+isinθ）^k•（cosθ+isinθ）
$\begin{array}{l}=（{coskθ+isinkθ}）（{cosθ+isinθ}）\\=（{coskθcosθ-sinkθsinθ}）+i（{coskθsinθ+sinkθcosθ}）\\=cos（k+1）θ+isin（k+1）θ\end{array}$
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立；
綜上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ．]
（2）解：∵$z=\sqrt{3}+i=2（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}i}）=2（{cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}}）$，
∴${z^{10}}={（{cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}}）^{10}}=cos\frac{5}{3}π+isin\frac{5}{3}π=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
（3）解：$z=a+bi=\sqrt{{a^2}+{b^2}}（{\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}+\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}i}）$，
∵${（{\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}}）^2}=1$，
∴$記\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=cosθ，\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=sinθ$，
記$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=r（{r＞0}），則z=r（{cosθ+isinθ}）$，
∴zⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ），∴|zⁿ|=rⁿ=|z|ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．