Question

8．已知定義在區(qū)間[-$\frac{3π}{2}$，π]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱，當x∈[-$\frac{π}{4}$，π]時，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），且其圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{2}$，π]上的表達式；
（2）求滿足f（x）=$\sqrt{3}$的實數(shù)x的集合．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)在[-$\frac{π}{4}$，π]上的解析式．再利用利用圖象的對稱性求函數(shù)在∈[-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]上的解析式，從而得出結(jié)論．
（2）由條件，分類討論，分別求得x的值，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）由條件根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象，可得A=2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=π-$\frac{π}{4}$，求得ω=$\frac{2}{3}$．
再根據(jù)五點法作圖，可得$\frac{2}{3}$•$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{4}$，π]上的解析式為f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）．
設(shè)x∈[-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]，根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱，則-$\frac{π}{2}$-x∈[-$\frac{π}{4}$，π]，
故f（x）=f（-$\frac{π}{2}$-x）=2sin[$\frac{2}{3}$（-$\frac{π}{2}$-x）+$\frac{π}{3}$]=2sin（-$\frac{2}{3}$x）=-2sin$\frac{2}{3}$x，
即當x∈[-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]時，f（x）=-2sin$\frac{2}{3}$x．
綜上可得，y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{2}$，π]上的表達式為 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{3}），x∈[-\frac{π}{4}，π]}\\{-2sin\frac{2}{3}x，x∈[-\frac{3π}{2}，-\frac{π}{4}]}\end{array}\right.$．
（2）①由f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，x∈[-$\frac{π}{4}$，π]，
可得$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，π]，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，求得x=0，或 x=$\frac{π}{2}$．
②由x∈[-$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]時，f（x）=-2sin$\frac{2}{3}$x=$\sqrt{3}$，
可得$\frac{2}{3}$x∈[-π，-$\frac{π}{6}$]，sin$\frac{2}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{2x}{3}$=-$\frac{2π}{3}$，或 $\frac{2x}{3}$=-$\frac{π}{3}$，
∴x=-π 或x=-$\frac{π}{2}$．
故當x∈[-$\frac{3π}{2}$，π]，可得x=0或$\frac{π}{2}$或-π或-$\frac{π}{2}$，即x的取值集合為{0，$\frac{π}{2}$，-π，-$\frac{π}{2}$ }．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．還考查了利用圖象的對稱性求函數(shù)的解析式，解三角方程，屬于中檔題．