Question

已知橢圓E經(jīng)過(guò)A（1，

3

2

），一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），求以P（1，

3

2

）為中點(diǎn)的弦所在直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由條件可得，c=1，設(shè)出橢圓方程，代入A的坐標(biāo)，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到橢圓方程，設(shè)出以P為中點(diǎn)弦的端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，運(yùn)用作差法，結(jié)合平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式，即可得到中點(diǎn)弦的斜率，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求方程．

解答： 解：橢圓E經(jīng)過(guò)A（1，

3

2

），一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
則c=1，即有a²-b²=1，
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
代入點(diǎn)（1，

3

2

），得

1

a2

+

9

4b2

=1，
解得，a=2，b=

3

，
則有橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
由于P的坐標(biāo)滿足

1

4

+

3

4×3

＜1，即P在橢圓內(nèi)．
則以P（1，

3

2

）為中點(diǎn)的弦與橢圓相交，
設(shè)端點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=

3

，

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
兩式相減得，

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

3

=0，
則有中點(diǎn)的弦的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

3×2

4 3

=-

3

2

．
即有中點(diǎn)的弦所在直線方程為y-

3

2

=-

3

2

（x-1），
即為y=-

3

2

x+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查中點(diǎn)弦方程的求法：點(diǎn)差法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．