Question

4．已知圓C：（x-5）²+（y-7）²=4，一束光線(xiàn)從點(diǎn)A（-1，1）經(jīng)x軸反射到圓周上，求光線(xiàn)的最短路程，并求此時(shí)的反射光線(xiàn)和入射光線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析 由條件利用反射定律，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，求得光線(xiàn)的最短路程，并利用兩點(diǎn)式求此時(shí)的反射光線(xiàn)和入射光線(xiàn)的方程．

解答 解：點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′（-1，-1），光線(xiàn)的最短路程為A′M-2=$\sqrt{{（5+1）}^{2}{+（7+1）}^{2}}$-2=8，
此時(shí)，反射光線(xiàn)的方程即直線(xiàn)A′M的方程：$\frac{y+1}{7+1}$=$\frac{x+1}{5+1}$，即 4x-3y+1=0．
故反射光線(xiàn)和x軸的交點(diǎn)為N（-$\frac{1}{4}$，0），入射光線(xiàn)方程即直線(xiàn)AN的方程：$\frac{y-0}{1-0}$=$\frac{x+\frac{1}{4}}{-1+\frac{1}{4}}$，
即4x+3y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反射定律，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)的方程，屬于中檔題．