Question

13．若a、b是方程x+lgx=4、x+10^x=4的解，函數(shù)φ（x）=sin[（a+b）x+a]，則函數(shù)y=φ（x）的最小正周期是（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π
• C． $\frac{3π}{2}$
• D． 2π

Answer 1

分析 作出y=lgx，y=10^x，y=4-x的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性得出a+b的值，帶入周期公式計算最小正周期．

解答 解：由x+lgx=4、x+10^x=4得lgx=4-x，10^x=4-x，
作出y=lgx，y=10^x，y=4-x的函數(shù)圖象，

顯然a=x_B，b=x_A．
∵y=lgx與y=10^x互為反函數(shù)，y=x與y=4-x互相垂直，
∴x_A=y_B，
∵B在直線y=4-x上，
∴a+b=x_B+y_B=4，
∴函數(shù)φ（x）=sin[（a+b）x+a]的最小正周期是T=$\frac{2π}{a+b}=\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的性質(zhì)，三角函數(shù)的周期計算，屬于中檔題．