已知函數(shù)f(x)=ex-x
(1)證明:對(duì)一切x∈R,都有f(x)≥1
(2)證明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln(n+1)(n∈N*).
分析:(1)先求出f′(x)=0的值,再討論滿足f′(x)=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況,來確定極值,從而求出函數(shù)的最值;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知當(dāng)x>0時(shí),x>ln(x+1),將1,
1
2
,
1
3
,…
1
n
分別代入,然后將同向不等式對(duì)應(yīng)相加,化簡(jiǎn)即可求得.
解答:解:(1)由f′(x)=ex-1=0,得x=0
∵當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0
∴f(x)在(-∞,0)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0
∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)
∴[f(x)]min=f(0)=1
∴x∈R時(shí),f(x)≥1
(2)由(1)可知:當(dāng)x>0時(shí),ex>x+1,即x>ln(x+1)
則1>ln2,
1
2
>ln(
1
2
+1)
,,
1
n
>ln(
1
n
+1)

1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln2+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n+1
n
=ln(n+1)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)恒成立問題,以及利用同向不等式的加法證明不等式,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=e-x(cosx+sinx),將滿足f′(x)=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列{xn}.求證:數(shù)列{f(xn)}為等比數(shù)列.

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1
x
|,則函數(shù)y=f(x+1)的大致圖象為( 。

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已知函數(shù)f(x)=e-x(x2+x+1).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.

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