Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，g（x）=f（x）﹣a
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)g（x）有四個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記g（x）得四個(gè)零點(diǎn)分別為x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 求x1+x2+x3+x4的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x＞0時(shí)，由|lnx|=2解得x=e2或x= ，

當(dāng)x≤0時(shí)，由x2+4x+1=2解得x=﹣2+ （舍）或x=﹣2﹣ ，

∴函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，分別為x=e2或x= ，x=﹣2﹣ ．

（2）解：函數(shù)g（x）=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f（x）的圖象與c的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

作函數(shù)f（x）的圖象y=a的圖象，結(jié)合兩函數(shù)圖象可知，

函數(shù)g（x）有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍是0＜a≤1；

（3）解：不妨設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，結(jié)合圖象知x1+x2=﹣4且0＜x3＜1，x4＞1，

由|lnx3|=|lnx4|=a，知x3x4=1且x4∈（1，e]，

∴x3+x4= +x4∈（2，e+ ]，

故x1+x2+x3+x4的取值范圍是∈（﹣2，e+ ﹣4]

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義解方程即可．（2）利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷求解．（3）根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷即可．