Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過點(diǎn)（2，0）作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為-8．
（1）求拋物線的方程；
（2）斜率為1的直線不經(jīng)過點(diǎn)P（2，2）且與拋物線交于A、B．
①求直線l在y軸上截距b的取值范圍；
②若AP、BP分別與拋物線交于另一點(diǎn)C、D，證明：AD、BC交于一定點(diǎn)M．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線方程為y=kx-2k，代入拋物線，列出y的方程y²-

2p

k

y-4p=0，利用兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為-8，求出p，即可求拋物線的方程；
（2）①設(shè)直線l的方程為y=x+b（b≠0），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合方程有兩個實(shí)根的條件：△＞0，解決問題．
②設(shè)A，B坐標(biāo)分別為為(

m2

4

，m)，(

n2

4

，n)，因為AB斜率為1，得出m，n的關(guān)系式，再結(jié)合B、P、D共線，利用直線斜紡的關(guān)系得直線AD的方程，最后令x=0時，即直線AD與y軸的交點(diǎn)為（0，2），同理可得BC與y軸的交點(diǎn)也為（0，2），從而解決問題．

解答： 解：（1）設(shè)直線方程為y=kx-2k，代入拋物線，列出y的方程y²-

2p

k

y-4p=0，
∵兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為-8
∴-4p=-8，∴p=2
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+b（b≠0），由于直線不過點(diǎn)P，因此b≠0
代入拋物線方程得x²+（2b-4）x+b²=0，由△＞0，解得b＜1
所以，直線l在y軸上截距的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）
（3）設(shè)A，B坐標(biāo)分別為(

m2

4

，m)，(

n2

4

，n)，因為AB斜率為1，所以m+n=4，
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(

yD2

4

，yD)，因為B、P、D共線，所以k_PB=k_DP，得y_D=

8-2n

2-n

=

2m

m-2

直線AD的方程為y-m=

yD-m

yD2 4 - m2 4

（x-

m2

4

）
當(dāng)x=0時，y=

myD

yD+m

=2
即直線AD與y軸的交點(diǎn)為（0，2），同理可得BC與y軸的交點(diǎn)也為（0，2），
所以AD，BC交于定點(diǎn)（0，2）．

點(diǎn)評：本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的方程、線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．