Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x+y+1=0與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程．
（2）設P為橢圓上一點，若過點M（2，0）的直線l與橢圓E相交于不同的兩點S和T，且滿足

OS

+

OT

=t

OP

（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）寫出滿足條件的圓的方程，再由直線與圓相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；
（2）設P（x₀，y₀），設出直線l：y=k（x-2），聯(lián)立橢圓方程消去y，得到x的方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由向量加法運算得到x₀，y₀的關(guān)系，代入橢圓方程，結(jié)合判別式大于0，即可得到t的范圍．

解答： 解：（1）由題意得，以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑
的圓的方程為（x-c）²+y²=a²，
∴圓心到直線x+y+1=0的距離d=

|c+1|

2

=a*，
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
則b=c，a=

2

b=

2

c，代入*式得b=c=1即a=

2

b=

2

，
故所求橢圓方程為

x2

2

+y²=1；
（2）由題意知直線l的斜率存在，設直線l方程為y=k（x-2），設P（x₀，y₀），
將直線方程代入橢圓方程得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
∴△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-16k²+8＞0
∴k2＜

1

2

，
設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）則x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
當k=0時，直線l的方程為y=0，此時t=0，

OS

+

OT

=t

OP

成立，故t=0符合題意．
當t≠0時
得tx₀=x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，ty₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=

-4k

1+2k2

，
∴x0=

1

t

•

8k2

1+2k2

，y0=

1

t

•

-4k

1+2k2

，
將上式代入橢圓方程得：

32k4

t2(1+2k2)2

+

16k2

t2(1+2k2)2

=1，
整理得：t2=

16k2

1+2k2

由k2＜

1

2

知0＜t²＜4，
所以t∈（-2，2）．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線與圓相切的條件，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去一個未知數(shù)，運用韋達定理，注意判別式大于0的條件，考查運算能力，屬于中檔題．