Question

已知定義在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，對于滿足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，給出下列結(jié)論：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)；
④

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
其中正確結(jié)論的序號是

 

．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：利用直線的斜率的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得到答案．

解答： 解：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的圖象如下：


對于①設曲線y=f（x）上兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），直線AB的斜率k_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜k_op=1，
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故①錯誤；
對于②，由圖可知，k_oA＞k_oB，即

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，0＜x₁＜x₂＜1，于是有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），故②正確；
對于③，由于函數(shù)f（x）為上凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)可知

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，故③正確，
對于④，由圖象可知函數(shù)為增函數(shù)，所以

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．故④正確
故答案：②③④

點評：本題考查函數(shù)的圖象，著重考查直線的斜率的幾何意義，考察函數(shù)的單調(diào)性，突出考查作圖象的能力與數(shù)形結(jié)合解決問題的能力，屬于中檔題