Question

已知：2^x≤256且log

1

2

1

x

≥

1

2

，
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）=log₂（

x

2

）．log 

2

（

x

2

）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求x的取值范圍；
（2）換元，利用配方法，即可求函數(shù)f（x）=log₂（

x

2

）．log 

2

（

x

2

）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵2^x≤256且log

1

2

1

x

≥

1

2

，
∴

2

≤x≤16；
（2）令t=log₂x（

1

2

≤t≤4），則y=（t-1）（t-2）=（t-

3

2

）²-

1

4

，
∵

1

2

≤t≤4，
∴t=

3

2

，即x=2

3

2

時(shí)，函數(shù)f（x）=log₂（

x

2

）．log 

2

（

x

2

）的最小值為-

1

4

；
t=4，即x=16時(shí)，函數(shù)f（x）=log₂（

x

2

）．log 

2

（

x

2

）的最大值為6．

點(diǎn)評：本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查換元，配方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．