Question

9．在棱長為2 的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是體對角線BD₁的中點，Q在棱CC₁上運動，則|PQ|_min=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取CC₁的中點為Q，則PQ是異面直線BD₁和CC₁的公垂直線，由此能求出結果．

解答 解：取CC₁的中點為Q，
∵在棱長為2 的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是體對角線BD₁的中點，
∴D₁Q=BQ=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PC₁=PC=$\frac{1}{2}$BD₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵P是BD₁的中點，Q是CC₁的中點，
∴PQ⊥BB₁，且PQ⊥CC₁，
∴PQ是異面直線BD₁和CC₁的公垂直線，
∵Q在棱CC₁上運動，∴當Q為CC₁的中點時，
|PQ|_min=$\sqrt{P{C}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查線段長的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．