Question

17．已知f（x）=lnx+x-$\frac{m}{x}$+1．
（1）當m=0時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論y=f（x）的單調(diào)性；
（3）當m=-2時，求y=f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出f（x）的導數(shù)，對m討論，當m≥$\frac{1}{4}$，當0＜m＜$\frac{1}{4}$時，當m≤0時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）求出導數(shù)，求得極值點，求出極值和端點處的函數(shù)值，即可得到值域．

解答 解：（1）當m=0時，f（x）=lnx+x+1的導數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
即有f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為2，切點為（1，2），
可得f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-2=2（x-1），
即為y=2x；
（2）f（x）=lnx+x-$\frac{m}{x}$+1的導數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{x}$+1+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x+m}{{x}^{2}}$，x＞0．
由x²+x+m=（x+$\frac{1}{2}$）²+m-$\frac{1}{4}$，
當m≥$\frac{1}{4}$，可得f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）遞增；
當m≤0時，由f′（x）＞0，可得x＞$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$；
當0＜m＜$\frac{1}{4}$時，f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）遞增．
綜上可得，m＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
m≤0時，f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$）遞減，在（$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$，+∞）遞增；
（3）當m=-2時，f（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$+1，
f（x）的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0，解得x=1（-2舍去），
由f（1）=4，f（$\frac{1}{e}$）=2e+$\frac{1}{e}$，f（e）=2+e+$\frac{2}{e}$．
即有f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值為2e+$\frac{1}{e}$，最小值為4．
則有f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的值域為[4，2e+$\frac{1}{e}$]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．