Question

8．平面內(nèi)有兩個定點A（1，0），B（1，-2），設(shè)點P到A、B的距離分別為d₁，d₂，且$\frac{mseqrgo_{1}}{lkwxuvh_{2}}$=$\sqrt{2}$
（ I）求點P的軌跡C的方程；
（ II）是否存在過點A的直線l與軌跡C相交于E、F兩點，滿足${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$（O為坐標(biāo)原點）．若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），利用兩點間距離公式能求出點P的軌跡C的方程．
（2）求出N（1，0），當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，不成立；當(dāng)直線l的斜率成立時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線與軌跡C方程，
得（1+k²）x²-（2k²-8k+2）x+k²-8k+9=0，由此利用根的判別式、點到直線的距離公式、弦長公式能求出不存在過點N的直線l，l與軌跡C相交于E、F兩點，且使三角形OEF滿足${S_{△OEF}}=2\sqrt{2}$．

解答 （本小題12分）
（Ⅰ）設(shè)P（x，y），
則$synosef_{1}=\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，d₂=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y+2）^{2}}$，
∵$\frac{pkstjcd_{1}}{zjklbug_{2}}=\sqrt{2}$，∴$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-1）^{2}+（y+2）^{2}}}=\sqrt{2}$，----（2分）
整理得：（x-1）²+（y+4）²=8，
∴點P的軌跡C的方程為（x-1）²+（y+4）²=8．----（4分）
（ II）存在過點A的直線l，l與軌跡C相交于E，F(xiàn)兩點，且使三角形S_△OEF=$2\sqrt{2}$．
理由如下：
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，
直線過圓心，$|{EF}|=4\sqrt{2}$，點O到直線l的距離為1，
此時，${S_{△OEF}}=\frac{1}{2}•|{EF}|•1=2\sqrt{2}$，所以成立．
----（6分）
②當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l方程為：y=k（x-1）．
點C到l的距離${d_3}=\frac{4}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，利用勾股定理，得：$|{EF}|=2\sqrt{8-\frac{16}{{{k^2}+1}}}=2\sqrt{\frac{{8{k^2}-8}}{{{k^2}+1}}}$．----（8分）
點O到l的距離${d_4}=\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，∴${S_{△OEF}}=\frac{1}{2}•2\sqrt{\frac{{8{k^2}-8}}{{{k^2}+1}}}\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2\sqrt{2}$，----（10分）
整理得3k²=-1，無解．所以直線斜率存在時滿足題意的直線不存在．
綜上，存在過點A的直線l：x=1，滿足題意．
----（12分）
（其它做法相應(yīng)給分）

點評 本題考查兩點距離公式的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、點到直線的距離公式、弦長公式的合理運(yùn)用．