Question

14．已知函數(shù)f₀（x）=xsinx，其中x∈R，記f_n（x）為f_n-1（x）的導(dǎo)函數(shù)，n∈N^*
（1）求f₁（x），f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）（n∈N^*）的解析式并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）${f_1}（x）={f_0}^/（x）=sinx+xcosx$，
${f_2}（x）={f_1}^/（x）=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx$，
${f_3}（x）={f_{21}}^/（x）=-2sinx-sinx-xcosx=-3sinx-xcosx$，
（2）歸納：${f_1}（x）=sinx+xcosx=1×sin（x+\frac{1-1}{2}π）+xcos（x+\frac{1-1}{2}π）$，
${f_2}（x）=2cosx-xsinx=2×sin（x+\frac{2-1}{2}π）+xcos（x+\frac{2-1}{2}π）$，
${f_3}（x）=-3sinx-xcosx=3×sin（x+\frac{3-1}{2}π）+xcos（x+\frac{3-1}{2}π）$
猜想：${f_n}（x）=nsin（x+\frac{n-1}{2}π）+xcos（x+\frac{n-1}{2}π）$，n∈N^*
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，f₁（x）=sinx+xcosx，結(jié)論成立；   
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，
即${f_k}（x）=ksin（x+\frac{k-1}{2}π）+xcos（x+\frac{k-1}{2}π）$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，${f_{k+1}}（x）={f_k}^/（x）=kcos（x+\frac{k-1}{2}π）+cos（x+\frac{k-1}{2}π）-xsin（x+\frac{k-1}{2}π）$=$（k+1）cos（x+\frac{k-1}{2}π）-xsin（x+\frac{k-1}{2}π）$=$（k+1）sin（x+\frac{k-1}{2}π+\frac{π}{2}）$+$xcos（x+\frac{k-1}{2}π+\frac{π}{2}）$
=$（k+1）sin[{x+\frac{（k+1）-1}{2}π}]$+$xcos[{x+\frac{（k+1）-1}{2}π}]$
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立
由①②可知，當(dāng)n∈N^*時(shí)，${f_n}（x）=nsin（x+\frac{n-1}{2}π）+xcos（x+\frac{n-1}{2}π）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明和應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．