Question

4．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
（2）點P在直線l：2x-4y+3=0上，過點P作圓C的切線，切點記為M，求使|PM|最小的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把圓C的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，設(shè)直線方程為x+y-a=0或y=kx，由圓心C到切線的距離等于半徑，求出待定系數(shù)a和k的值則切線的方程可求；
（2）把圓C的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，過圓心C作CP垂直于直線l，過P作圓的切線，此時PM最短，先由圓心C及直線l的方程，利用點到直線的距離公式求出|CP|的長，再由圓的半徑，利用勾股定理求出|PM|的長，即為所求的最小值，再求出此時直線CP的方程聯(lián)立直線l，求出交點即可．

解答 解：（1）圓C：x²+y²+2x-4y+3=0即（x+1）²+（y-2）²=2，表示圓心為C（-1，2），半徑等于$\sqrt{2}$的圓．
設(shè)斜率為-1的切線方程為x+y-a=0，設(shè)過原點的切線方程為kx-y=0，則圓心C到切線的距離等于半徑．
由$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，求得a=-1或3．
再由$\frac{|-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{2}$，求得k=2±$\sqrt{6}$，
故所求的切線的方程為x+y-3=0，x+y+1=0，y=（2±$\sqrt{6}$）x；
（2）圓C：x²+y²+2x-4y+3=0即（x+1）²+（y-2）²=2，則圓的圓心C（-1，2），半徑為$\sqrt{2}$，
連接CP，當CP⊥l時，C到l的距離最小，由于PM為切線，
則|PM|²=|PC|²-r²=|PC|²-2，即有|PM|最�。�
由C到直線l：2x-4y+3=0的距離d=$\frac{|-2-4×2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{10}$，
則此時|PM|的最小值為$\sqrt{（\frac{7\sqrt{5}}{10}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
當CP⊥l時，直線CP：y-2=-2（x+1），即y=-2x，
再由直線l：2x-4y+3=0，解得交點為（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．
故使|PM|取最小值的點P的坐標為（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查圓的切線方程，考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．考查運算能力，屬于中檔題．