Question

3．甲、乙兩名運動員進行2016里約奧運會選拔賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為$\frac{1}{2}$，乙獲勝的概率為$\frac{1}{2}$，各局比賽結(jié)果相互獨立．
（Ⅰ）求甲在3局以內(nèi)（含3局）贏得比賽的概率；
（Ⅱ）記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用A表示“甲在3局以內(nèi)（含3局）贏得比賽”，A_K表示第K局甲獲勝，B_K表示第K局乙獲勝，分別求出相應的概率，由此能求出甲在3局以內(nèi)（含3局）贏得比賽的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）用A表示“甲在3局以內(nèi)（含3局）贏得比賽”，
A_K表示第K局甲獲勝，B_K表示第K局乙獲勝，
則$P（{A_K}）=\frac{1}{2}，P（{B_K}）=\frac{1}{2}，K=1，2，3，4，5$
∴甲在3局以內(nèi)（含3局）贏得比賽的概率：
$P（A）=P（{A_1}{A_2}）+P（{B_1}{A_2}{A_3}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$…（5分）
（Ⅱ）X的可能取值為2，3，4，5，
$P（X=2）=P（{A_1}{A_2}）+P（{B_1}{B_2}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
$P（X=3）=P（{B_1}{A_2}{A_3}）+P（{A_1}{B_2}{B_3}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P（X=4）=P（{A_1}{B_2}{A_3}{A_4}）+P（{B_1}{A_2}{B_3}{B_4}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
P（X=5）=P（A₁B₂A₃B₄A₅）+P（B₁A₂B₃A₄B₅）+P（A₁B₂A₃B₄B₅）+P（B₁A₂B₃A₄A₅）=$4×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$…（10分）
故X的分布列為

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴$E（X）=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{8}=\frac{23}{8}$．…（12分）

點評 本小題主要考查概率，古典概型，隨機變量的數(shù)學期望等基礎知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應用意識，考查必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．