Question

3．設(shè)定義域為R的奇函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+a}}-\frac{1}{2}$（a為實數(shù)）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性（不必證明），并求出f（x）的值域；
（Ⅲ）若對任意的x∈[1，4]，不等式f（k-$\frac{2}{x}$）+f（2-x）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（0）=0，可求得a的值；
（Ⅱ）可判斷f（x）在R上單調(diào)遞減，由$\frac{1}{{{2^x}+1}}∈（{0\;，\;1}）$可求得$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$的值域；
（Ⅲ）由任意的x∈[1，4]，不等式f（k-$\frac{2}{x}$）+f（2-x）＞0恒成立可得$k＜\frac{2}{x}+x-2$，構(gòu)造函數(shù)令$g（x）=\frac{2}{x}+x-2\;，\;x∈[{1\;，\;4}]$，利用”對勾“函數(shù)的性質(zhì)可求得g_min（x），從而可求得實數(shù)k的取值范圍．

解答 （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，從而a=1，此時$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$，經(jīng)檢驗，f（x）為奇函數(shù)，所以a=1滿足題意．------------------（3分）（不檢驗不扣分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$，
所以f（x）在R上單調(diào)遞減，-------------（6分）
由2^x＞0知2^x+1＞1，所以$\frac{1}{{{2^x}+1}}∈（{0\;，\;1}）$，----------（7分）
故得f（x）的值域為$（{-\frac{1}{2}\;，\;\frac{1}{2}}）$．---------------（9分）
（Ⅲ）因為f（x）為奇函數(shù)，故由$f（{k-\frac{2}{x}}）+f（{2-x}）＞0$得$f（{k-\frac{2}{x}}）＞-f（{2-x}）=f（{x-2}）$，-----------（11分）
又由（Ⅱ）知f（x）為減函數(shù)，故得$k-\frac{2}{x}＜x-2$，即$k＜\frac{2}{x}+x-2$．-----------------（12分）
令$g（x）=\frac{2}{x}+x-2\;，\;x∈[{1\;，\;4}]$，則依題只需k＜g_min（x）．
由”對勾“函數(shù)的性質(zhì)可知g（x）在$[{1\;，\;\sqrt{2}}]$上遞減，在$[{\sqrt{2}\;，\;4}]$上遞增，所以${g_{min}}（x）=g（{\sqrt{2}}）=2\sqrt{2}-2$．--------（14分）
故k的取值范圍是$（{-∞\;，\;2\sqrt{2}-2}）$．--------（15分）

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)思想與等價轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于難題．