Question

20．在△ABC中，已知a=2$\sqrt{3}$；B=$\frac{π}{4}$；面積S=3+$\sqrt{3}$；求C和c．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式可求c的值，利用余弦定理可求b的值，再利用三角形面積公式可求sinA的值，結(jié)合大邊對大角可求A，再由三角形內(nèi)角和定理即可得解C的值．

解答 解：∵a=2$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{4}$，面積S=3+$\sqrt{3}$，
∴根據(jù)三角形的面積公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，可得：3$+\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：c=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB=（2$\sqrt{3}$）²+（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²-2×$2\sqrt{3}×$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8，
解得：b=2$\sqrt{2}$，
∴根據(jù)三角形的面積公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，可得：3$+\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×sinA，
解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a＜c，A為銳角，可得A=$\frac{π}{3}$，
∴C=π-A-B=$\frac{5π}{12}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形的面積公式及余弦定理等公式在解題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．