Question

已知在直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

，（θ為參數），定點A（0，-3），F₁，F₂是圓錐曲線C的左，右焦點．
（1）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求經過點F₁，且平行于直線AF₂的直線l的極坐標方程；
（2）在（1）的條件下，設直線l與圓錐曲線C交于E，F兩點，求|EF|．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）首先把曲線的參數方程轉化成直角坐標方程，進一步確定焦點的坐標，最后利用點斜式求出直線的方程，最后轉化成極坐標方程．
（2）根據（1）的結論建立方程組，整理成關于x的一元二次方程，再利用根和系數的關系和弦長公式求出結果．

解答： 解：（1）圓錐曲線C的參數方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

，（θ為參數），整理成直角坐標方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
所以：F₁（-1，0），F₂（1，0），
已知定點A（0，-3），則：kAF2=3
所以：過F₁且平行于AF₂的直線l的方程為：y=3x+3
轉化成極坐標方程為：ρsinθ-3ρcosθ-3=0．
（2）直線l和曲線交于E、F，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
所以：

x2 4 + y2 3 =1 y=3x+3

整理得：13x²+24x+8=0
則：x1+x2=-

24

13

，x1x2=

8

13

所以：|EF|=

1+9

|x1-x2|=

8 85

13

點評：本題考查的知識要點：參數方程和直角坐標方程的互化，利用點斜式求直線的方程，直角坐標方程與極坐標方程的互化，直線與曲線的位置關系，弦長公式的應用，根和系數關系的應用．屬于基礎題型．