Question

設(shè)a是實(shí)數(shù)，f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R），
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）試證明對(duì)于任意a，f（x）為增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明對(duì)于任意a，f（x）為增函數(shù)．

解答： 解：（1）若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=0，
即 a-

2

20+1

=0，
∴a=1
證明：（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，
又由2^x＞0得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴對(duì)于a取任意實(shí)數(shù)，f（x）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．