Question

11．在△ABC中，tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，則tan$\frac{C}{2}$的取值范圍為[$\frac{3}{4}$，1）．

Answer 1

分析 利用條件誘導(dǎo)公式、兩角和差的正切公式求得1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=tan$\frac{C}{2}$，再根據(jù)tan$\frac{A}{2}$、tan$\frac{B}{2}$均為正數(shù)以及基本不等式，求得tan$\frac{C}{2}$的范圍．

解答 解：△ABC中，∵tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=tan（$\frac{A}{2}$+$\frac{B}{2}$）•（1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$）
=tan$\frac{π-C}{2}$•（1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$）=cot$\frac{C}{2}$•（1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$）=1，
∴1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$=tan$\frac{C}{2}$．
∵∵tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，∴tan$\frac{A}{2}$、tan$\frac{B}{2}$均為正數(shù)，
∴tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$＞0，∴tan$\frac{C}{2}$=1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$＜1，即 tan$\frac{C}{2}$＜1．
∵tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$=1，∴1=tan$\frac{A}{2}$+1tan$\frac{B}{2}$≥2$\sqrt{tan\frac{A}{2}•tan\frac{B}{2}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)tan$\frac{A}{2}$=tan$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$時，等號成立，
∴tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$$≤\frac{1}{4}$，∴tan$\frac{C}{2}$=1-tan$\frac{A}{2}$•tan$\frac{B}{2}$≥$\frac{3}{4}$．
綜上可得，tan$\frac{C}{2}$∈[$\frac{3}{4}$，1），
故答案為：[$\frac{3}{4}$，1）．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的正切公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．