Question

14．已知x，y，z都是正整數(shù)，且x²+y²=z²；
（1）求證：x，y，z不可能都是奇數(shù)；
（2）求證：當(dāng)n∈N，n＞2時(shí)，xⁿ+yⁿ＜zⁿ．

Answer 1

分析 （1）使用反證法即可得出結(jié)論；
（2）利用x²+y²=z²，得出（$\frac{x}{z}$）²+（$\frac{y}{z}$）²=1，于是0＜$\frac{x}{z}$＜1，0＜$\frac{y}{z}$＜1．，從而（$\frac{x}{z}$）ⁿ＜（$\frac{x}{z}$）²，（$\frac{y}{z}$）ⁿ＜（$\frac{y}{z}$）²，兩式相加即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）（反證法）假設(shè)x，y，z都是奇數(shù)，
那么x²，y²，z²都是奇數(shù)，
所以x²+y²是偶數(shù)，所以x²+y²≠z²，這與已知相矛盾，
所以x，y，z不可能都是奇數(shù)；     
（2）∵x，y，z都是正整數(shù)，∴xⁿ，yⁿ，zⁿ都是正整數(shù)
又∵x²+y²=z²，則（$\frac{x}{z}$）²+（$\frac{y}{z}$）²=1，
∴0＜$\frac{x}{z}$＜1，0＜$\frac{y}{z}$＜1．
∵n∈N，n＞2，∴（$\frac{x}{z}$）ⁿ＜（$\frac{x}{z}$）²，（$\frac{y}{z}$）ⁿ＜（$\frac{y}{z}$）²，
∴（$\frac{x}{z}$）ⁿ+（$\frac{y}{z}$）ⁿ＜（$\frac{x}{z}$）²+（$\frac{y}{z}$）²=1，
∴xⁿ+yⁿ＜zⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明，屬于中檔題．