Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx（p是實數(shù)）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則p的取值范圍為[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分離參數(shù)得到$p≥\frac{2x}{{{x^2}+1}}=\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}$恒成立，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出p的范圍即可．

解答 解：∵${f^'}（x）=\frac{{p{x^2}-2x+p}}{x^2}$，
要使f（x）為單調(diào)增函數(shù)，須f′（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0恒成立，
即$p≥\frac{2x}{{{x^2}+1}}=\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}$恒成立，
又$\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}≤1$，
故當(dāng)p≥1時，f（x）在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，
故答案為：[1，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)題知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．