已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025009620359.png" style="vertical-align:middle;" />,且同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①;②對(duì)任意的,都有;③當(dāng)時(shí)總有.
(1)試求的值;
(2)求的最大值;
(3)證明:當(dāng)時(shí),恒有.
(1);(2);(3).

試題分析:(1)抽象函數(shù)求在特殊點(diǎn)的值,一般用賦值法,令代入抽象函數(shù)可得,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025009901525.png" style="vertical-align:middle;" />,可得.(2)在定義域內(nèi)求抽象函數(shù)最值,一般先判斷函數(shù)單調(diào)性,再求比較定義域端點(diǎn)的函數(shù)值和極值點(diǎn)的大小.證明單調(diào)性可令,代入得進(jìn)而得函數(shù)為增函數(shù),最大值為
(3)在上證不等式,要分兩段、.在,,所以.在,所以,進(jìn)而得證.
試題解析:(1)令則有,所以有,有根據(jù)條件?可知,故.(也可令
方法一:設(shè),則有,即為增函數(shù)(嚴(yán)格來講為不減函數(shù)),所以,故.
方法二:不妨令,所以由?,即增函數(shù)(嚴(yán)格來講為不減函數(shù)),所以,故.
(3)當(dāng),有,又由?可知,所以有對(duì)任意的恒成立.當(dāng),又由?可知,所以有對(duì)任意的恒成立.綜上,對(duì)任意的時(shí),恒有.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

湖北省第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)紀(jì)念章委托某專營(yíng)店銷售,每枚進(jìn)價(jià)5元,同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章需向荊州籌委會(huì)交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元,預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000枚,經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚,而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚,現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為元,為整數(shù).
(1)寫出該專營(yíng)店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲利潤(rùn)(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格(元)的函數(shù)關(guān)系式(并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域);
(2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格為多少元時(shí),該特許專營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)(元)最大,并求出最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線.
(Ⅰ)求,,,的值;
(Ⅱ)若時(shí),,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖像與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn);
(3)設(shè)若函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

為了降低能損耗,最近上海對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能消耗費(fèi)用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;
(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是(      )
A.(B.(C.(,1)D.(1,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù) 則下列關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是(   )
A.當(dāng)時(shí),有3個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)時(shí),有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)
C.無論為何值,均有2個(gè)零點(diǎn)
D.無論為何值,均有4個(gè)零點(diǎn)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

函數(shù)的定義域?yàn)镈,若存在閉區(qū)間[a,b]D,使得函數(shù)滿足:(1)在[a,b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);(2)在[a,b]上的值域?yàn)閇2a,2b],則稱區(qū)間[a,b]為y=的“美麗區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“美麗區(qū)間”的是          . (只需填符合題意的函數(shù)序號(hào)) 
①、;        ②、;
③、;        ④、.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

定義區(qū)間,,,的長(zhǎng)度均為. 用表示不超過的最大整數(shù),記,其中.設(shè),若用表示不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度,則當(dāng)時(shí),有(     )
A.B.C.D.

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