Question

已知是偶函數(shù).
(1)求的值；
(2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖像與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
(3)設(shè)若函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)；(2)證明見解析；(3).

試題分析：(1)由，并進(jìn)行檢驗(yàn)；(2)原問題等價(jià)于證明方程組
最多只有一組解，即證方程最多只有一個(gè)實(shí)根，利用反證法證明該方程不可能有兩個(gè)實(shí)根，所以原命題得證；(3)問題轉(zhuǎn)化為方程:只有唯一解，令，則可化為關(guān)于的方程：只有唯一正根，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情形，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，利用二次函數(shù)根的判定方法，最終可以得到所求實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：解：(1)由 經(jīng)檢驗(yàn)的滿足題意；  2分
(2)證明:即證方程組最多只有一組解，
即證方程最多只有一個(gè)實(shí)根.            4分
下面用反證法證明:
假設(shè)上述方程有兩個(gè)不同的解則有：
.
但時(shí)，不成立.
故假設(shè)不成立.從而結(jié)論成立.                 7分
(3)問題轉(zhuǎn)化為方程:只有唯一解.         9分
令，則可化為關(guān)于的方程：只有唯一正根.   10分
若,則上述方程變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025051880662.png" style="vertical-align:middle;" />,無(wú)解.故          11分
若二次方程(*)兩根異號(hào),即.此時(shí)方程(*)有唯一正根,滿足條件；   12分
若二次方程(*)兩根相等且為正,則.       13分
故的取值范圍是:.           14分