Question

已知：f（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞）
（1）若b≥1，求證：函數f（x）在（0，1）上是減函數；
（2）是否存在實數a，b，使f（x）同時滿足下列二個條件：
①在（0，1）上是減函數，（1，+∞）上是增函數；
②f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求f′（x），所以只要證明b≥1時，對于x∈（0，1），f′（x）＜0即可；
（2）根據條件①知，方程f′（x）=0在（0，+∞）上有解，并且解為x=

b

，所以令b=1，便滿足條件①了，再根據x=1時，f（x）取最小值3求出a即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

x2-b

x2

；
x∈（0，1）時，x²∈（0，1）；
∴若b≥1，則：
f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上是減函數；
（2）令f′（x）=0，若滿足第一個條件，則該方程在（0，+∞）上有解；
并且解為x=

b

；
∴x∈(0，

b

)時，f′（x）＜0；x∈(

b

，+∞)時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，

b

）上是減函數，在(

b

，+∞)上是增函數；
∴令b=1，便得到f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，即滿足①；
∴此時x=1時f（x）取到最小值

1+a+1

1

=3，a=1；
∴最后得到存在a=1，b=1使f（x）滿足條件①②．

點評：考查根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，函數在極值點處的導數為0，以及根據導數求函數最值的方法與過程．