Question

【題目】已知向量 ，b（sinωx，0），且ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=（a+b）b+k．
（1）若f（x）的圖像中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于 ，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當(dāng) 時(shí)，f（x）的最大值是2，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ， （sinωx，0），

∴ + =（ cosωx+sinωx，sinωx），

∴f（x）= sinωxcosωx+sin2ωx+k

= sin2ωx﹣ cos2ωx+ +k

=sin（2ωx﹣ ）+ +k，

由題意得：T= = ，

∴ = ≥ ，∴ω≤1，又ω＞0，

則ω的取值范圍0＜ω≤1

（2）解：∵T=π，∴ =π，即ω=1，

∴f（x）=sin（2x﹣ ）+ +k，

∵ ，∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

則當(dāng)2x﹣ = ，即x= 時(shí)，f（x）取得最大值，

∴f（ ）=2，及sin（2× ﹣ ）+ +k=2，

解得：k=1．

【解析】由 和 的坐標(biāo)求出 + 的坐標(biāo)，進(jìn)而利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則算出（ + ） 的值，把f（x）的解析式變形，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，從而利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，（1）找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的周期，根據(jù)f（x）的圖像中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于 ，得到周期的一半大于等于 ，再由ω＞0即可求出ω的取值范圍；（2）由f（x）的最小正周期為π求出ω的值，代入f（x）的解析式，根據(jù)x的范圍求出2x﹣ 范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)得到f（x）取得最大值時(shí)x的值，把求出x的值及f（x）的最大值為2代入f（x）解析式，即可求出k的值．