Question

7．已知函數f（x）=kx-$\sqrt{4-{x^2}}$+3-2k有兩個零點x₁，x₂，則k+|x₁-x₂|的取值范圍是$（\frac{5}{12}，\frac{331}{100}]$．

Answer 1

分析 由題意把函數f（x）=kx-$\sqrt{4-{x^2}}$+3-2k有兩個零點轉化為半圓y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$與直線y=kx-2k+3有兩個交點，由此求得k的范圍，再利用弦長公式把g（k）=k+|x₁-x₂|轉化為含有k的函數，利用導數求得答案．

解答 解：函數f（x）=kx-$\sqrt{4-{x^2}}$+3-2k有兩個零點，
則半圓y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$與直線y=kx-2k+3有兩個交點，又直線y=kx-2k+3過定點A（2，3），
當直線在AB位置時，斜率k=$\frac{3-0}{2+2}=\frac{3}{4}$，
當直線和半圓相切時，由$\frac{|0-0-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得k=$\frac{5}{12}$，故k的取值范圍是（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]，
又k+|x₁-x₂|=k+$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，①
則由kx+3-2k=$\sqrt{4-{x^2}}$，兩邊平方整理得：（1+k²）x²+2k（3-2k）x+4k²-12k+5=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k（3-2k）}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12k+5}{1+{k}^{2}}$，代入①，
可得g（k）=k+|x₁-x₂|=$k+\frac{2\sqrt{12k-5}}{1+{k}^{2}}$（$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$），
利用導數可求得g（k）的取值范圍為：$（\frac{5}{12}，\frac{331}{100}]$．
故答案為：$（\frac{5}{12}，\frac{331}{100}]$．

點評 本題考查函數的零點判定定理，考查了數學轉化思想方法和數形結合的解題思想方法，訓練了利用導數求最值，是中檔題．